จะได้ว่า x11/3 + x21/3 + x31/3 = (a + 24 +6t)1/3/2
และ (x1x2)1/3 + (x2x3)1/3 + (x3x1)1/3 = (b + 12 + 3t)1/3/2
โดยที่ : t3 - 3(a + 2b + 12)t - [ ab + 12(a + 2b + 6) ] = 0
--------------------------------------------------------------------------------
พิสูจน์ : จะได้ว่า x1x2x3 = 1/8
สมมติให้ yi = xi1/3 ; i = 1, 2, 3 หรือ y = x1/3 \ y1y2y3 = (x1x2x3)1/3 = (1/8)1/3 = 1/2
\ จะมีสมการ 2y3 - py2 + qy - 1 = 0 ...(*)
จัดรูปจะได้ (2y3 - 1)3 = (py2 - qy)3 แล้ว (2x - 1)3 - p3x2 + q3x + 3pqx(2x - 1) = 0
ฎ 8x3 - (12 + p3 - 6pq)x2 + (6 + q3 - 3pq)x - 1 = 0
เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า
a = 12 + p3 - 6pq
b = 6 + q3 - 3pq ฎ 2b = 12 + q3 - 6pq
ให้ p3 = a + 24 + 6t ก็จะได้ว่า q3 = b + 12 + 3t และ pq = t + 6
แต่ p3q3 = (pq)3 ฎ (a + 24 + 6t)(b + 12 + 3t) = (t + 6)3 ซึ่งเมื่อกระจายแล้วจัดรูปจะได้ว่า
t3 - 3(a + 2b + 12)t - [ ab + 12(a + 2b + 6) ] = 0
จาก (*) จะได้ว่า y1 + y2 + y3 = p/2 ฎ x11/3 + x21/3 + x31/3 = (a + 24 +6t)1/3/2
และ y1y2 + y2y3 + y3y1 = q/2 ฎ (x1x2)1/3 + (x2x3)1/3 + (x3x1)1/3 = (b + 12 + 3t)1/3/2
--------------------------------------------------------------------------------
พิจารณาสมการ 8x3 + 4x2 - 4x - 1 = 0 จะได้ว่า รากของสมการนี้คือ cos 2p/7, cos 4p/7, cos 6p/7
\ เมื่อ a = -4, b = -4 ก็จะได้ว่า t = -2(7)1/3 เมื่อนำไปแทนใน ท.บ. ข้างต้น ก็จะได้เอกลักษณ์ทั้งสอง ออกมาตามลำดับ
ใครจะเอาแนวคิดดังกล่าวไปใช้ต่อ ก็เชิญตามสบายเลยค่ะ. ถ้าเจอของใหม่อีกยิ่งดี
__________________
คิดไปคิดมา ได้มาอีกเพียบเลย ชักไม่ตื่นเต้นแล้ว รู้สึกว่ามันจะ unlimited ซะด้วย สำหรับเอกลักษณ์ของรากที่ 3 จำนวน 3 ตัว. ให้ดูเล่น ๆ ค่ะ.
คณิตศาสตร์ไม่ยากอย่างที่คิด
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น