นั่ง Time Machine ไปยุคประถม
ถ้าถามว่า 5 หารด้วย 2 เหลือเศษเท่าไร เด็กๆก็ตอบได้ว่า เหลือเศษ 1
ถามว่า 289 หารด้วย 13 เหลือเศษเท่าไร
เด็กก็จะตั้งหารยาว ได้ผลลัพธ์เป็น 22 เหลือเศษ 3
เขียนในรูปเศษส่วน จะได้ 13289=1322(13)+3=1322(13)+313
จะเห็นว่า 1322(13) ตัวเศษ มี 13 เป็นพหุคูณ หรือตัวร่วม ทำให้ หารด้วย 13 ลงตัว และมี 313 เศษคือ 3
แต่โจทย์ไม่ง่ายๆแบบข้างต้น มักเป็นการหารเลขยกกำลัง เช่น
210 หารด้วย 5 เหลือเศษ เท่าไร
จงหาเศษเหลือจากการหาร 3100 ด้วย 7
เศษเหลือจาการหาร 171000 ด้วย 13 เป็นเท่าไร
แบบนี้ถ้าทำแบบตั้งหารยาว คงยุ่งยากและยาวมากๆ
เราจะหาแนวทางในการหาเศษเหลือของตัวเลข xn ที่หารด้วย p
ค่อยๆทำความเข้าใจตัวอย่างต่อไปนี้นะค่ะ
__________________
ตัวอย่างที่ 1
เศษเหลือที่ได้จากการหาร 2100 ด้วย 5 เท่ากับเท่าใด
วิธีที่ 1
เพราะว่า 2100=(24)25=(16)25=...6
เพราะฉะนั้นหลักหน่วยของ 2100 เป็นเลข 6
สรุป เศษเหลือที่ได้จากการหาร 2100 ด้วย 5 มีค่าเท่ากับ 1
วิธีที่ 2
2100=(22)50=450=(5−1)50
=(050)550−(150)549+(250)548−(350)547+...−(4950)51+1
เพราะว่า 5 หาร (k50)550−k ลงตัวทุกค่า k=0,1,...,49
เพราะฉะนั้น 5 หาร 2100 เหลือเศษ 1
หมายเหตุ
การแก้ปัญญาข้อนี้วิธีที่ 1 เป็นวิธีที่เข้าใจได้ง่ายกว่าวิธีที่ 2 แต่เมื่อ
ต้องการหาในกรณีที่ตัวหารไม่ใช่เลข 5 หรือ 10 จะพบว่าวิธีที่ 2 จะดีกว่า
ถึงตรงนี้ ก็ไปหาความรู้เรื่องทฤษฎีทวินามมาอ่าน หรืออย่างน้อย จำรูปแบบนี้ไว้ก่อนก็ได้
ตัวอย่าง 2.
เศษเหลือที่ได้จากการหาร 1010 ด้วย 7 เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
∵ 1010=(7+3)10
=(010)710·30+(110)79·31+...+(910)71·39+310
เพราะฉะนั้นเศษเหลือที่ได้จากการหาร 1010 ด้วย 7 ต้องเท่ากับเศษเหลือจากการหาร 310 ด้วย 7
แต่เพราะว่า 310=(32)5=95=(7+2)5
=(05)75·20+(15)74·21+...+(45)71·24+25
เพราะฉะนั้นเศษเหลือที่ได้จากการหาร 310 ด้วย 7 ต้องเท่ากับเศษเหลือที่ได้จากการหาร 25 ด้วย 7
เพราะว่า 25=32 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4
สรุป 1010 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4
ถึงตรงนี้พอได้แนวคิดบ้างหรือยังค่ะ
ถ้าอย่างนั้น ก็มาดูตัวอย่างต่อไป
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก
ถ้าคุณไม่รู้จักให้ ก็ไม่มีใครให้คุณ
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น